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Hundeforum Der Hund
Laikas

Rätsel mit Knobeleien, Zahlen, Logik

Empfohlene Beiträge

 

vor 42 Minuten schrieb Laikas:

Eine zweistellige Zahl kann man mit z als Zehnerstelle und e als Einerstelle so darstellen: 10*z + e (Beispiel: 92=10*9+2)
Wenn wir von dieser Zahl nun ihre beiden Ziffern abziehen, entsteht: 10*z+e – z – e = 9*z + 0 = 9*z

 

Wenn ich sowas lese, hab ich obenrum sofort Stromausfall.

 

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(bearbeitet)

@Karlotte Das Stichwort heißt "Neunerprobe". Guckst Du Google oder wikipedia oder anderes Nachschlagewerk Deines geringsten Misstrauens. Und "Neunerrest", ebd..

 

Die Quersumme aller ganzzahligen Vielfachen von 9 ist auch immer eine ganzzahlige Vielfache von 9.

(Die iterierte Quersumme, also so lange weiter quer gesummt, bis das Ergebnis einstellig ist, ist demzufolge immer 9, weil ja alle Zwischenergebnisse Vielfache von 9 sind: 1899 -> 1+8+9+9 = 27 -> 2+7 = 9.)

 

Das "ganzzahlig" spare ich mir mal im weiteren Text, wir reden hier nur von ganzen Zahlen einschlielich der 0:

 

Man kann sich das bei zweistelligen Zahlen bis 90 ganz gut bildlich vorstellen, wenn man bedenkt, dass "+9" das gleiche ist wie "+10 -1". D.h. die erste Ziffer wird immer um 1 höher, die zweite um 1 niedriger -> die Summe bleibt gleich.

 

(Das funktioniert also mit der höchsten einstelligen Zahl in allen Zahlensystemen, im Hexadezimalsystem ist die Quersumme aller Vielfachen von "F" auch wieder ein Vielfaches von "F".)

 

Die Zahlen zwischen den Vielfachen von 9 (nennen wir sie mal "a*9"; "b*9"; "c*9", ...) liegen immer um n (n=(0..8)) über einer a*9.

Solange sich nur die letzte Stelle ändert, ist damit auch deren Quersumme (nennen wir sie q(a*9+n)) um n größer als die Quersumme von a*9. Also q(a*9 +n) = q(a*9) + n. Logisch, hier wird ja nur addiert.

 

Beim Übergang zur nächsten Zehnerstelle macht die Quersumme einen Sprung, und zwar 1 rauf und 9 wieder runter (logisch: die erste Stelle wird um 1 höher, die zweite um 9 niedriger -im mehrstelligen Bereich geht es um eine Vielfache von 9 wieder runter, z.B. q(300) = q(299) + 1 - 9 - 9, weil ja gleich zwei Stellen um 9 kleiner werden). Da ist sie also wieder, unsere magische "9".

q(39) = q(36+3) = 12                                  = q(36) + 3

q(39+1) = q(36+4) = 12 + 1 -9 = 4            =  q(36) + 4 -9

Da q(36) eine Vielfache von 9 ist, ist es q(36) - 9 natürlich auch. (Bei zweistelligen Beispielen ist das ein bisschen offensichtlich...)

 

Aaaaalso: Wenn Du von Deiner gedachten Zahl "a*9 + n" (n=(0..8) und konstant) die Quersumme bildest, ist das Ergebnis auch um n höher als ein b*9.

Und dann bildest Du deren Differenz:

a*9 + n - (b*9 + n) (b kann auch 0 sein, s.o.)

= a*9 - b*9

= c*9

 

Das Ergebnis ist immer eine Vielfache von 9. Und da nur die einfache Quersumme gebildet wird ist es max. 99 - 18 = 98 - 17 = 97 - 16 = ... = 81.

Nun werden die Symbole zwar bei jedem Aufruf Deines Links neu verteilt, aber die Zahlen 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 und 81, also alle möglichen Ergebnisse, haben jeweils das gleiche Symbol.

Das ist also nicht mal wirklich "mathematisch", geschweige denn "magisch"...

 

 

(Okay, die von Laikas verlinkte Erklärung von Mathefan ist für diesen konkreten Fall wohl etwas kompakter...)

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"Das braucht doch keine Sau!" - häufigstes Zitat vieler Schüler. :P

 

so weit

Maico

 

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vor 2 Minuten schrieb mikesch0815:

"Das braucht doch keine Sau!"

 

Endlich ein Satz in diesem Thread, den ich verstehe :ph34r:

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(bearbeitet)
vor 7 Stunden schrieb denny:

@Laikas danke.

Aber ich bin Mathematik-Legastheniker.😂

 

Wenn du magst, hier noch ein Erklärungsversuch für Mathefans Lösung. :) Zum Anklicken des Ergebnisses stehen ja nur die Zahlen von 0-99 in der Tabelle zur Auswahl. Was kann beim Rechnen davon überhaupt herauskommen?

 

Der User darf am Anfang ja nur eine zweistellige Zahl wählen: die beginnen ab 10 (drunter ist einstellig) und enden bei 99 (drüber ist dreistellig) . Ob man jetzt die zwei Zahlen, aus denen sich die gewählte Zahl zusammensetzt, erst zu einer Summe addiert (=Quersumme) und abzieht oder ob man die zwei Zahlen einzeln von der ausgesuchten Zahl abzieht ist ja mathematisch egal. (Beliebiges Beispiel: 43 Äpfel sind im Korb und man soll 4 + 3 Äpfel rausnehmen, also subtrahieren -> das geht mit zwei Aktionen: einmal 4 Äpfel raus und dann nochmal 3 oder mit einer Aktion: einmal die Summe alle 7 zusammen raus, der Rest im Korb bleibt hinterher gleich).

 

Nun gilt egal welche Zahl man nimmt: zieht man erst mal nur die Einer ab (erste Zahl ganz rechts) , verschwinden die Einer immer komplett und es bleibt 0:

z.B.

99 - 9 =90

53 - 3 = 50

Je nachdem, was der User für eine Zahl ausgesucht hat, bleiben dann immer nur die glatten Zehnerzahlen übrig. Von denen zieht man noch die Zahl, die an der Zehnerstelle steht, ab (die zweite von rechts). Je nach Fall erhält der User genau diese Endergebnisse und nur diese:

 

10 - 1 = 9

20 - 2 = 18

30 - 3 = 27

40 - 4 = 36

50 - 5 = 45

60 - 6 = 54

70 - 7 = 63

80 - 8 = 72

90 - 9 = 81

 

Alle Ergebnisse sind durch 9 teilbar! Genau das meinte die Rechnung von Mathefan hier (Ausgangszahl minus Quersumme) :

z*10 + e – e – z = z*9 + 0 = z*9

Die einzelnen Schritte bedeuten:

z*10 + e  Das ist die zerlegte Ausgangszahl: z mal Zehner und e mal Einer. Das ist unser übliches Dezimalsystem. z und e sind Symbole für mögliche Zahlen von 0-9 für e (Einer) und 1-9 für z (Zehner). Die Zahl ist ja zweistellig, deshalb hat sie mindestens eine 1 vorne als Zehnerzahl stehen (07 z.B. wäre ja die einstellige Zahl 7).

 

z*10 + e – e Die Einerzahl e abziehen (erster Teil der Quersumme: die Einerstelle rechts). 

 

z*10 + e – e – z  Die Anzahl der Zehner abziehen (zweiter Teil der Quersumme: die Zehnerstelle links).

 

z*10 + (e – e) – z = Zieht man von einer Zahl e genau die gleiche Zahl e ab, bleibt nichts:  e - e = 0. Das hebt sich also immer auf, egal für welche Zahl e gerade von 0-9 steht, und fällt deshalb weg. Dann bleibt:

 

z*10 + 0 – z = Die Null bewirkt hier nichts, fällt weg.

 

z*10 – z = Es ist nun egal ob man, 10*z rechnet oder z*10. 10 mal 4 und 4 mal 10 sind z.B. gleich. 10*z - z heißt dann: 10 mal eine Zahl z minus einmal diese Zahl z, ergibt nur noch 9 mal diese Zahl z. Das ist dann das Ergebnis:

z*9 Das z steht nun für alle Zahlen von 1-9, die an der Zehnerstelle der gewählten Ausgangszahl stehen könnten. Ergibt dann 1*9, 2*9, 3*9 ... bis 9*9 als mögliche Ergebnisse der Rechnung Ausgangszahl minus ihrer Quersumme.

 

Wenn man als User die Aufgabe richtig ausgerechnet hat, gibt es als Ergebnis dann immer nur diese 9 Zahlen, die man dann anklicken könnte (und nicht alle Hundert von 0-99). Deshalb bekommen die Kugel und alle diese neun Zahlen in der Tabelle einfach das gleiche Symbol. Hab es mal ausprobiert: Wenn ich absichtlich eine andere Zahl anklicke, erscheint nicht das Symbol, das ich angeklickt habe, sondern das, was gerade in dieser Spielrunde für alle diese möglichen Lösungen vom Programm eingestellt wurde.

 

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Hier ist ja was los... 😁

 

Wenn ich mal Zeit habe, denke ich mich mal da rein, aber dafür muss ich einen frischen Kopp haben...

 

Vielen Dank für die toll ausführlichen Erklärungen!

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Mein Bruder hat Mathenachhilfe gegeben. Sein Fazit: die Matheangst liegt an schlechten Erfahrungen in der Schule. Im Prinzip kann das jeder verstehen. - Ab einem gewissen Level stimme ich ihm nicht mehr zu, aber es gibt Wege, einige Dinge nachzuvollziehen und die sind eigentlich sehr spaßig und faszinierend, wenn man sich darauf einlässt.

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