DER Thread für Mathe-Nerds

[Laikas]

Ungelöste Probleme der Mathematik:

https://de.wikipedia.org/wiki/Millennium-Probleme

 

Perelman hat eines davon gelöst und der Typ ist echt interessant. Da staunt man natürlich auch beim Handelsblatt, dass jemand ungewollt eine Million hinterher getragen bekommt und sie jedesmal ablehnt.

https://www.handelsblatt.com/technik/forschung-innovation/auszeichnung-abgelehnt-mathe-genie-verzichtet-auf-eine-million-dollar/3478466.html

 

https://de.wikipedia.org/wiki/Grigori_Jakowlewitsch_Perelman

"Bereits im Jahr 2000 hatte das Clay Mathematics Institute die Poincaré-Vermutung unter die sieben bedeutendsten ungelösten mathematischen Probleme gezählt und für die Lösung (unter der Bedingung ihrer Veröffentlichung in einer Fachzeitschrift) einen Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt. Perelman, der seine Arbeit im Internet publizierte, zeigte bisher weder Interesse daran, seinen Beweis in einer Fachzeitschrift zu veröffentlichen, noch daran, den Preis für sich zu beanspruchen.

Das Clay-Institut in Cambridge, Massachusetts, USA, das auch die Überprüfung des Beweises durch Tian und Morgan sowie ein weiteres Team finanzierte, sprach Perelman trotzdem nach eingehenden Prüfungen am 18. März 2010 das Preisgeld für die erste Lösung eines der sieben Millenniums-Probleme zu. Dieser lehnte die Auszeichnung jedoch erneut ab. Er begründete diese Entscheidung mit seiner Unzufriedenheit mit der Organisation der mathematischen Gesellschaft, da ihm deren Entscheidungen nicht gefallen. Er halte sie für ungerecht."

[mikesch0815]

Ein LK meiner Schule hatte mal einen Perelman-Fanclub aufgemacht. Die waren so begeistert vom Waldschrat..

 

 

so weit

Maico

[Laikas]

@Holo

vor 19 Stunden schrieb Laikas:

Wenn ich könnte, wie ich wollte ... wüsste ich sofort, wie man dieses Matherätsel hier ausrechnet. Dabei ist das endlich mal was Nützliches :

 

n Freunde erzählen uns jeder einen anderen Witz. Den Witz merken wir uns, aber nicht den Erzähler. Nun erzählen wir jedem dieser Freunde genau einen der n Witze, der uns gerade einfällt, aber jedem einen anderen. Wie wahrscheinlich ist es, dass wir keinem seinen eigenen Witz erzählen?

 

Bei meiner Aufgabe steht folgender Lösungsweg: man sucht hier "nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Permutation keinen Fixpunkt hat".

 

Im Aufgabenheft wird vorher eine "Permutation" als bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst definiert. In diesem Fall ist das die Abbildung der Witzeerzähler auf die Empfänger des Witzes (sind ja dieselben, die den Witz hören und es werden alle genau einmal beglückt). Ein Fixpunkt wäre jetzt, dass ein Witzeerzähler auf sich selbst abgebildet wird, also seinen eigenen Witz hört. Z. B. kann man

 

a b c d e f g h - n=8 Witzeerzähler zuordnen zum Buchstaben genau darunter

f c d e a b g h - n=8 Witzeempfänger.

 

Hier sind Witzeerzähler g und h gelangweilt, weil sie ihren eigenen Witz hören = Fixpunkte der Abbildung (z. B. Buchstabe g geht zu g). Die Anzahl aller dieser möglichen Zuordnungen Erzähler zu Empfänger beträgt n!, wie hier beschrieben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutation_ohne_Wiederholung

 

Bei n! Varianten können mal alle ihren eigenen Witz hören, nur einige oder keiner und das in allen möglichen Kombinationen. Nun heißt es in der Lösung: wenn D(n) die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen ist (keiner hört seinen eigenen Witz) und wir davon ausgehen, dass alle Permutationen gleich wahrscheinlich sind, dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

 

D(n)/n!

 

Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen D(n) kann man mit einer Formel ausrechnen :

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation#Anzahl

 

(Die Herleitung dieser Formel über das Inklusions-Exklusions-Prinzip = Siebformel steht auch gleich darunter; meine Witzeaufgabe war ein Beispiel zur Anwendung dieser Siebformel )

 

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit war ja jetzt

D(n)/n!

Also setzt man in D(n)/n! die obige Formel statt D(n) ein. Dann kann man n! wegkürzen und es bleibt der Anteil der fixpunktfreien Permutationen an allen insgesamt:

 

 

In meinem Aufgabenheft ist das nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner der Freunde seinen eigenen Witz zu hören bekommt. In Zahlen kann man das auch genauer ausdrücken, denn wenn man n gegen unendlich streben lässt (was wir nicht hoffen wollen ), dann kann man in der Matheformelsammlung das hier benutzen und k = i und x = -1 setzen:

 

 

Das e ist hier die Eulersche Zahl. Dann erhält man also für unsere Wahrscheinlichkeit mit unendlich vielen Witzen den Grenzwert:

 

Eulersche Zahl mit Exponent -1 = 1/Eulersche Zahl = 1 / 2,71828..., also ungefähr 0,36787.

 

Das ist die Wahrscheinlichkeit in Zahlen. Sagt auch Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation#Anzahl

"Für n ≥ 4 liegt damit der Anteil der fixpunktfreien Permutationen bei etwa 37 % (siehe auch 37%-Regel)."

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Hier ist so eine Aufgabe mit Wichtelgeschenken, nur fragt man hier anders herum: "Es kann jedoch passieren, dass jemand zufällig sein eigenes Geschenk bekommt. Für die betreffende Person wäre es mit der Überraschung vorbei. Doch wie wahrscheinlich ist dieser Fall bei einer Gruppe von n Personen?"

https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion#Beispiel

Ergebnis 63,2%.

 

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Schönes Video zum Thema: